Question

已知f（x）是二次函數(shù)，f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表達(dá)式；
（II）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)≥2lnx-

4

3

x3+1．

Answer 1

分析：（I）利用待定系數(shù)法，設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)對(duì)任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立，建立方程，即可求得函數(shù)解析式；
（II）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f(x)-(2lnx-

4

3

x3+1)，證明函數(shù)在g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，由此可證不等式．

解答：（I）解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則f′（x）=2ax+b
∵f′（x）=f（x+1）+x²，
∴2ax+b=a（x+1）²+b（x+1）+c+x²，
∴2ax+b=（1+a）x²+（2a+b）x+a+b+c
∵對(duì)任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
∴

1+a=0 2a=2a+b b=a+b+c

∴a=-1，b=0，c=1
∴f（x）=-x²+1；
（II）證明：令g（x）=f(x)-(2lnx-

4

3

x3+1)=-x2-2lnx+

4

3

x3
∴g′（x）=-2x-

2

x

+4x²=

2(x-1)(2x2+x+1)

x

∵x＞1，∴g′（x）＞0
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）＞g（1）=0
∴f(x)-(2lnx-

4

3

x3+1)＞0
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)≥2lnx-

4

3

x3+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造不等式，證明函數(shù)的單調(diào)性．