Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{alnx}{x}$（a∈R）的圖象與直線x-2y=0相切，當(dāng)函數(shù)g（x）=f（f（x））-t恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)t的取值范圍是{0}．

Answer 1

分析 先利用函數(shù)f（x）=$\frac{alnx}{x}$（a∈R）的圖象與直線x-2y=0相切，求出a，再作出f（x）的圖象，利用當(dāng)函數(shù)g（x）=f（f（x））-t恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，即可實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：由題意，f′（x）=$\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
取切點(diǎn)（m，n），則n=$\frac{alnm}{m}$，m=2n，
$\frac{a（1-lnm）}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴m=$\sqrt{e}$，a=e．∴f（x）=$\frac{elnx}{x}$，
f′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，（e，+∞）上單調(diào)遞減，
f（1）=0，x→+∞，f（x）→0，
由于f（e）=1，f（1）=0，
∴當(dāng)函數(shù)g（x）=f（f（x））-t恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)t的取值范圍是{0}，
故答案為：{0}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．