Question

如圖分別是正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的直觀圖和正視圖，O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點．

（1）求正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的體積；（注：棱臺體積公式：V=

1

3

（S_上+

S上•S下

+S_下）h，其中s_上為棱臺上底面面積，s_下為棱臺下底面面積，h為棱臺高）
（2）求平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦；
（3）若P是棱A₁C₁上一點，求CP+PB₁的最小值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用V=

1

3

（S_上+

S上•S下

+S_下）h，求正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）設O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點，F是B₁C₁中點．以O₁為原點，過O₁平行B₁C₁的線為x軸建立空間直角坐標系O₁-xyz，利用向量的夾角公式即可求解；
（3）利用展開圖，結合余弦定理求CP+PB₁的最小值．

解答： 解：（1）由題意，AC=2

3

，A₁C₁=4

3

，正三棱臺高為

3

，
∴S_上=3

3

，S_下=12

3

，
∴V=

1

3

（S_上+

S上•S下

+S_下）h=21；
（2）設O，O₁分別是上下底面的中心，E是BC中點，F是B₁C₁中點．以O₁為原點，過O₁平行B₁C₁的線為x軸建立空間直角坐標系O₁-xyz．C₁（-2

3

，2，0），C（-

3

，1，

3

），E（0，1，

3

），A₁（0，-4，0），B₁（2

3

，2，0），
∴

A1E

=（0，1，

3

），

A1B1

=（2

3

，6，0），
設平面EA₁B₁的一個法向量

n

=（x，y，z），則

5y+ 3 z=0 3 x+3y=0

取

n

=（-3，

3

，-5），取平面A₁B₁C₁的一個法向量

m

=（0，0，1），設所求角為θ，則cosθ=

5 37

37

；
（3）將梯形A₁ACC₁繞A₁C₁旋轉到A₁A′C′C₁，使其與△A₁B₁C₁成平角，
cos∠C′C₁A₁=cos∠CC₁A₁=

21

7

，sin∠CC₁A₁=

2 7

7

，
∴cos∠CC₁B₁=cos（∠CC₁A₁+

π

3

）=-

21

14

，
△C′C₁B₁中，C′C₁=

3

，C₁B₁=4

3

，
由余弦定理得C′B₁=

67

，即CP+PB₁的最小值為

67

．

點評：本題考查正三棱臺ABC-A₁B₁C₁的體積，考查平面EA₁B₁與平面A₁B₁C₁的夾角的余弦，考查側面展開圖的運用，考查學生推理論證的能力，屬于中檔題．