Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD， 為線段的中點(diǎn)， 在線段上.

（I）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：PB // 平面ACM；

（II）求證： ；

（III）是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為60°，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，二面角的大小為60°.

【解析】試題分析：(1) 連接BD交AC于H點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)得MH // BP ，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(2)由面面垂直性質(zhì)定理得PE⊥平面ABCD，即得；（3）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)列各點(diǎn)坐標(biāo)，由方程組解得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量之間關(guān)系列方程，解得的值

試題解析：（I）證明：連接BD交AC于H點(diǎn)，連接MH，

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是菱形，

所以點(diǎn)H為BD的中點(diǎn).

又因?yàn)?/span>M為PD的中點(diǎn)，

所以MH // BP.

又因?yàn)?/span> BP 平面ACM, 平面ACM.

所以 PB // 平面ACM.

（II）證明：因?yàn)?/span>為正三角形，E為AB的中點(diǎn)，

所以PE⊥AB .

因?yàn)槠矫?/span>PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB，

所以PE⊥平面ABCD.

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

(Ⅲ) 因?yàn)?/span>ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中點(diǎn)，

所以CE⊥AB .

又因?yàn)?/span>PE⊥平面ABCD，

以為原點(diǎn)，分別以為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ，

， ， ．

假設(shè)棱上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為， ，

則，

所以，

所以， ，

設(shè)平面的法向量為，則

，解得．

令，則，得．

因?yàn)?/span>PE⊥平面ABCD，

所以平面ABCD的法向量，

所以．

因?yàn)槎�面�?/span>的大小為60°，

所以，

即，

解得，或（舍去）

所以在棱PD上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為60°．