Question

13．將三項式（x²+x+1）ⁿ展開，當n=0，1，2，3，…時，得到以下等式：
（x²+x+1）⁰=1
（x²+x+1）¹=x²+x+1
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1
…
觀察多項式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計為0）之和，第k行共有2k+1個數(shù)．若在（1+ax）（x²+x+1）⁵的展開式中，x⁸項的系數(shù)為67，則實數(shù)a值為$\frac{26}{15}$．

Answer 1

分析 由題意可得廣義楊輝三角形第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以（1+ax）（x²+x+1）⁵的展開式中，x⁸項的系數(shù)為15+30a=75，即可求出實數(shù)a的值．

解答 解：由題意可得廣義楊輝三角形第5行為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
所以（1+ax）（x²+x+1）⁵的展開式中，x⁸項的系數(shù)為15+30a=67，
所以a=$\frac{26}{15}$．
故答案為：$\frac{26}{15}$．

點評 本題考查二項式定理的運用以及歸納推理，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)所給等式的系數(shù)變化的規(guī)律．