Question

函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試判斷f（x）在（-1，1）的單調性，并予以證明；
（3）若f（t-1）+f（t）＜0，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）解：∵函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即
∴-ax+b=-ax-b
∴b=0
∵
∴
∴a=1
∴
（2）證明：∵f′（x）=
∵-1＜x＜1時，＞0
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)
（沒有學習導數(shù)的也可利用函數(shù)的單調性的定義）
（3）解：∵f（t-1）+f（t）＜0，且函數(shù)為奇函數(shù)
∴f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
由（2）知函數(shù)在（-1，1）上單調遞增
∴-1＜t-1＜-t＜1
∴
分析：（1）由題意可得，f（-x）=-f（x），代入可求b，然后由可求a，進而可求函數(shù)解析式
（2）對函數(shù)求導可得，f′（x）=，結合已知x的范圍判斷導函數(shù)的正負即可判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調性
（3）由已知可得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），結合函數(shù)在（-1，1）上單調遞增可求t的范圍
點評：本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應用及待定系數(shù)求解函數(shù)的解析式，及函數(shù)的單調性在不等式的求解中的應用