已知函數(shù)f(x)=lnx-a(x2-x)(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)通過a=1,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到切線的斜率,然后求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過a與0的大小,討論,分別判斷函數(shù)的單調(diào)性求解求f(x)在[1,2]的最大值.
解答: (本小題滿分14分)
解:(I)當(dāng)a=1時(shí)  f(x)=lnx-x2+xf(x)=
1
x
-2x+1
….(3分)
∴f(1)=0,f′(1)=0即:所求切線方程為:y=0….(6分)
(II)∵f(x)=
1
x
-2ax+a=
-2ax2+ax+1
x
,x>0

∴當(dāng)a=0時(shí),f′(x)>0,
f(x)在[1,2]上遞增
∴f(x)max=f(2)=ln2….(7分)
當(dāng)a≠0時(shí) 可令g(x)=-2ax2+ax+1,x∈[1,2].
∵g(x)的對稱軸x=
1
4
且過點(diǎn)(0,1)
∴當(dāng)a<0時(shí),f′(x)>0在[1,2]恒成立,
f(x)在[1,2]上遞增
∴f(x)max=f(2)=ln2-2a….(9分)
當(dāng)a>0時(shí),
若g(1)≤0,即:a≥1時(shí),f′(x)<0在[1,2]恒成立,
f(x)在[1,2]上遞減,
∴f(x)max=f(1)=0….(10分)
若g(1)>0,g(2)<0,即:
1
6
<a<1
時(shí),f′(x)在[1,
a+
a2+8a
4a
)
上大于零,
(
a+
a2+8a
4a
,2]
上小于零f(x)在[1,
a+
a2+8a
4a
)
上遞增,
(
a+
a2+8a
4a
,2]
上遞減,
f(x)max=f(
a+
a2+8a
4a
)=ln
a+
a2+8a
4a
+
a2+8a
+a-4
8
….(12分)
若g(1)>0,g(2)≥0,即:0<a≤
1
6
時(shí),f′(x)>0在[1,2]恒成立,
 f(x)在[1,2]上遞增,
∴f(x)max=f(2)=ln2-2a….(13分)
綜上:f(x)max=
ln2-2a,a≤
1
6
ln
a+
a2+8a
4a
+
a2+8a
+a-4
8
,
1
6
<a<1
0,a≥1
….(14分)
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,閉區(qū)間上的函數(shù)的最值的求法,考查分析問題解決問題的能力.
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在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,M是棱PC上一點(diǎn).若PA=AC=a,則當(dāng)△MBD的面積為最小值時(shí),直線AC與平面MBD所成的角為( 。
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
π
2

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給出下列四個(gè)命題:
①如果平面α與平面β相交,那么平面α內(nèi)所有的直線都與平面β相交;
②如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β;
③如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與平面β也不垂直;
④如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β.
真命題的序號是
 
.(寫出所有真命題的序號)

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已知
α
=
2
1
為矩陣A=
1a
-14
屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.
(Ⅰ) 求實(shí)數(shù)a,λ的值;    
(Ⅱ)求矩陣A的逆矩陣A-1

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點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上,且AB=CD=
3
,BC=2AC=2BD=2,則該球的表面積為( 。
A、16πB、12π
C、8πD、4π

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設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(X=k)=
c
2k
(k=1,2,3,4),則常數(shù)c的值為
 

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武漢外國語學(xué)校從參加高二年級期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答如下問題:
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(1)求f(x);
(2)若函數(shù)g(x)=
1+ax-m•bx
在x∈(-∞,1]時(shí)有意義,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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