Question

4．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow b$=（sin（$\frac{π}{4}$+2x），cos2x）（x∈R）．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求$f（-\frac{π}{4}）$的值；
（2）求f（x）的最大值及對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$得到函數(shù)f（x）的解析式，然后把x=-$\frac{π}{4}$代入解析式即可；
（2）根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式對函數(shù)進(jìn)行整理，再結(jié)合三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論即可得到函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+2x）-2cos2x$，
$f（-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{2}）-2cos（-\frac{π}{2}）=-1$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{π}{4}cos2x+\sqrt{2}cos\frac{π}{4}sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x$=$\sqrt{2}\;sin\;（2x-\frac{π}{4}）$．
當(dāng)$2x-\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$，即當(dāng)$x=kπ+\frac{3π}{8}\;，\;k∈Z$時(shí)，$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題結(jié)合三角函數(shù)中的恒等變換公式，將三角函數(shù)式化簡并求函數(shù)的周期與最值，著重考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．