Question

11．已知函數(shù)f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$，α∈（0，π），求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）將三角函數(shù)進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的表達(dá)式求函數(shù)f（x）的值域；
（3）把x=$\frac{α}{2}$代入求值．

解答 解：（1）∵f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=-$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴函數(shù)f（x）的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
（3）∵f（$\frac{α}{2}$）=sin（α-$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$-cosαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{1}{4}$，
∴16sin²α-4sinα-11=0，
解得sinα=$\frac{1±3\sqrt{5}}{8}$，
∵α∈（0，π），∴sinα＞0
故sinα=$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．

點評 本題考查正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的周期的求法，函數(shù)的值域的應(yīng)用，考查計算能力．