Question

如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1，到M的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為．設(shè)這條最短路線(xiàn)與CC1的交點(diǎn)為N，求： (1) 該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng) (2) PC和NC的長(zhǎng) (3) 平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：正三棱柱ABC－A1B1C1側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為=．
(2)	如圖所示，將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1的位置，連結(jié)MP1，則MP1，就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC1到點(diǎn)M的最短路線(xiàn)． 　　設(shè)PC=x，則P1C=x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3＋x)2＋22=29，解得x=2，∴PCP1C=2∵==∴NC=．
(3)	如圖所示，連結(jié)PP1，則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線(xiàn)，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線(xiàn)定理得CH⊥PP1． 　　∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角(銳角)． 　　在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP=，∴CH==1． 　　在Rt△NCH中，tan∠NHC===． 　　故平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為arctan． 　　點(diǎn)評(píng)：(1)本題體現(xiàn)了空間問(wèn)題平面化的思想．(2)無(wú)棱二面角的處理，一是用S·cosθ=S射影，二是尋找兩個(gè)公共點(diǎn)，作出棱．