Question

17．已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，則曲線C上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數）的距離的最小值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．

Answer 1

分析 曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²=2x．配方可得圓心C，r．由曲線C上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程：2x-y+2=0，利用點到直線的距離可得圓心C到直線的距離d．即可得出曲線C上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數）的距離的最小值為d-r．

解答 解：曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²=2x．配方為（x-1）²+y²=1．
可得圓心C（1，0），r=1．
由曲線C上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程：2x-y+2=0，
∴圓心C到直線的距離d=$\frac{|2-0+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴曲線C上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t為參數）的距離的最小值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．
故答案為：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-1．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．