Question

若函數f（x）在定義域內的一個區(qū)間[a，b]（a＜b）上函數值的取值范圍恰好是[

a

2

，

b

2

]，則稱區(qū)間[a，b]是函數f（x）的有關減半壓縮區(qū)間，若函數f（x）=

x-1

+m存在一個減半壓縮區(qū)間[a，b]（b＞a≥1），則實數m的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  2

  ）
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（

  1

  2

  ，1]
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：通過求導容易判斷f（x）在[a，b]上是增函數，所以f（x）∈[

a-1

+m，

b-1

+m]，所以得到

a-1

+m=

a

2

，

b-1

+m=

b

2

，所以方程

x-1

+m=

x

2

有兩個不等實根，令

x-1

=t，t≥0，x=t²+1，所以該方程變成t²-2t+1-2m=0，所以這個關于t的方程有兩不等實根，且小根大于等于0，所以得到

△=4-4(1-2m)＞0 1-2m≥0

，解該不等式組即得m的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=

1

2 x-1

＞0；
∴函數f（x）在[a，b]上是增函數；
∴x∈[a，b]時，f（x）∈[

a-1

+m，

b-1

+m]；
∵[a，b]是f（x）的減半壓縮區(qū)間；
∴f（x）∈[

a

2

，

b

2

]；
∴

a-1

+m=

a

2

，

b-1

+m=

b

2

，即方程

x-1

+m=

x

2

有兩不等實根；
令

x-1

=t(t≥0)，x=t²+1，所以該方程變成：
t²-2t+1-2m=0，則關于t的一元二次方程有兩個不等實根，且兩根非負；
∴

△=4-4(1-2m)＞0 1-2m≥0

，解得0＜m≤

1

2

；
∴實數m的取值范圍是：（0，

1

2

]．
故選B．

點評：考查函數導數符號和函數單調性的關系，根據單調性求函數的值域，一元二次方程的解的情況和判別式△的關系，以及韋達定理．