Question

（2013•未央?yún)^(qū)三模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線ON的斜率k_ON；
（2）對于橢圓C上的任意一點(diǎn)M，設(shè)

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ∈R，μ∈R），求證：λ²+μ²=1．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率，化簡橢圓的方程，設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式，即可求斜率；
（2）確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用M，A，B在橢圓上，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，
因?yàn)?span id="qg4eu4y" class="MathJye">

c

a

=

6

3

，所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．
從而橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²                                        ①
∴右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

2

b，0），
據(jù)題意有AB所在的直線方程為：y=x-

2

b．②
由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0．③
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），由③及韋達(dá)定理有：x0=

3 2

4

b，y0=x0-

2

b=-

2

4

b
所以kON=

y0

x0

=-

1

3

，即為所求．…（6分）
（2）證明：顯然

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量

OM

，有且只有一對實(shí)數(shù)λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．
設(shè)M（x，y），由（1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
故x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．…（8分）
又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2
整理可得：λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x1+x2=

3 2

2

b，x1x2=

3

4

b2．
所以x₁x₂+3y₁y₂=3b²-9b²+6b²=0   ⑤
又點(diǎn)A，B在橢圓C上，故有x12+3y12=x22+3y22=3b²．⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．