Question

10．（1）若a、b、m、n∈R⁺，求證：$\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}≥\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{a+b}$；
（2）利用（1）的結(jié)論，求下列問題：已知$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$，求$\frac{2}{x}+\frac{9}{1-2x}$的最小值，并求出此時x的值．

Answer 1

分析 （1）a、b、m、n∈R⁺，可得（a+b）$（\frac{{m}^{2}}{a}+\frac{{n}^{2}}）$=m²+n²+$\frac{b{m}^{2}}{a}+\frac{a{n}^{2}}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$，$\frac{2}{x}+\frac{9}{1-2x}$=$\frac{{2}^{2}}{2x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$≥$\frac{（2+3）^{2}}{2x+1-2x}$，即可得出．

解答 （1）證明：∵a、b、m、n∈R⁺，∴（a+b）$（\frac{{m}^{2}}{a}+\frac{{n}^{2}}）$=m²+n²+$\frac{b{m}^{2}}{a}+\frac{a{n}^{2}}$≥m²+n²+2mn=（m+n）²，當且僅當bm=an時取等號，∴$\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}≥\frac{{{{（{m+n}）}^2}}}{a+b}$．
（2）$x∈（{0，\frac{1}{2}}）$，$\frac{2}{x}+\frac{9}{1-2x}$=$\frac{{2}^{2}}{2x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$≥$\frac{（2+3）^{2}}{2x+1-2x}$=25，當且僅當2（1-2x）=3•2x，即當$x=\frac{1}{5}$時取得最小值，最小值為25．

點評 本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．