Question

【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn ， a1=a，當n≥2時， =3n2an+S ，an≠0，n∈N*．
（1）求a的值；
（2）設數列{cn}的前n項和為Tn ， 且cn=3n﹣1+a5 ， 求使不等式4Tn＞S10成立的最小正整數n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列{an}的公差為d．

當n≥2時， =3n2an+S ，an≠0，n∈N*．a1=a，

分別令n=2，3，可得： =12a2+a2， =27a3+ ．

∴（2a+d）2=12（a+d）+a2，2a+2a2+a3=27=5a+4d，

聯立解得a=3，d=3

（2）解：由（1）可得：an=3+3（n﹣1）=3n．

Sn= = ．

cn=3n﹣1+a5=15+3n﹣1．

∴數列{cn}的前n項和Tn= +15n= +15n．

不等式4Tn＞S10，即：4×[ +15n]＞ ．

化為：f（n）=23n+60n﹣167＞0，

f（2）=﹣29＜0，f（3）=67＞0．

∴ 使不等式4Tn＞S10成立的最小正整數n的值為3

【解析】（1）設等差數列{an}的公差為d．當n≥2時， =3n2an+S ，an≠0，n∈N*．a1=a，分別令n=2，3，可得： =12a2+a2， =27a3+ ．化簡解出即可得出．（2）由（1）可得：an=3n．Sn= ．cn=3n﹣1+a5=15+3n﹣1．求得數列{cn}的前n項和Tn= +15n．代入不等式4Tn＞S10，化簡即可得出．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：或；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．