Question

在二項(xiàng)式（

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+2x）ⁿ的展開(kāi)式中，若前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)？（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

Answer 1

分析：（1）二項(xiàng)式（

1

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+2x）ⁿ的展開(kāi)式中，若前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，可利用此關(guān)系建立方程求出n的值，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出系數(shù)最大的項(xiàng)．
（2）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)滿足

C k 12 ×4k≥ C k-1 12 ×4k-1 C k 12 ×4k≤ c k+1 12 ×4k+1

，解這個(gè)不等式組求出參數(shù)k的取值范圍，判斷出系數(shù)最大時(shí)k的值即可得出系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）C_n⁰+C_n¹+C_n²+=79，
∴n²+n-156=0=0
∴n=12，
T₇=

C

6 12

×(

1

2

)6×(2x)6=924x⁶
∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為924x⁶
（2）設(shè)T_k+1項(xiàng)系數(shù)最大，由(

1

2

+2x)12=(

1

2

)12×(1+4x)12
∴

C k 12 ×4k≥ C k-1 12 ×4k-1 C k 12 ×4k≤ c k+1 12 ×4k+1

∴9.4＜k＜10.4，∴k=10 所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式定理建立起方程或不等式，求解問(wèn)題，二項(xiàng)式中系數(shù)最大的項(xiàng)的求法就是比較相鄰的項(xiàng)，題后注意總結(jié)這個(gè)方法．