Question

（理科）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足Sn=

a

a-1

(an-1)(a為常數(shù)且a≠0，a≠1，n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=

2Sn

an

+1，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在滿足（2）的條件下，記Cn=

1

1+an

+

1

1-an+1

，設(shè)數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：Tn＞2n-

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件中數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的遞推關(guān)系，通過仿寫得到另一個等式，兩個式子相減得到數(shù)列的項(xiàng)間的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）將（1）中求出的項(xiàng)代入已知等式得到b_n，求出數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，利用等比數(shù)列前三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程求出a的值，將a的值代入通項(xiàng)檢驗(yàn)．
（3）求出通項(xiàng)C_n，利用放縮法將通項(xiàng)放縮得到一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出前n項(xiàng)和，不等式得證．

解答：解：（1）由（a-1）S_n=aa_n-a    ①
當(dāng)n≥2時，（a-1）S_n-1=aa_n-1-a     ②
由①-②得n≥2時，（a-1）a_n=aa_n-aa_n-1即a_n=aa_n-1
又a₁=a≠0
∴數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列
∴a_n=aⁿ
（2）bn=

2Sn

an

+1=

2a

1-a

(

1

a

)n+

3a-1

a-1

b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

又b₂²=b₁•b₃得（3a+2）²=3（3a²+2a+2）解得a=

1

3

又a=

1

3

時，bn=3n顯然為等比數(shù)列
故a=

1

3

（3）由（2）得Cn=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=2-

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

又

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

＜

2(3n-1)

(3n+1-3)(3n+1)

=

2 3

3n+1

＜

2 3

3n

∴

n

i=1

 

2(3i-1)

(3i+1-1)(3i+1)

＜ 

n

i=1

2 3

3i

=

2 3 × 1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

＜

1

3

∴Tn＞2n-

1

3

點(diǎn)評：已知數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時，一般利用仿寫作差的方法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)間的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)；解決一個數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列求參數(shù)的范圍，一般利用前三項(xiàng)列出等式求出參數(shù)，再代入通項(xiàng)檢驗(yàn)．