Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（x-1），（a＞0且a≠1），q（x）=log₃[（1-x）（mx+3）]，m∈R．
（1）求q（x）的定義域；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），若h（3）=-1，且對(duì)區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式h（x）＞(

1

2

)x+n恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分類討論解不等式（1-x）（mx+3）＞0，即可的定義域．（2）求出h（x）=log

x+1 x-1 1 2

=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

，
不等式h（x）＞(

1

2

)x+n恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解k（x）=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

-（

1

2

）^x，最值問題

解答： 解：（1）∵q（x）=log₃[（1-x）（mx+3）]，m∈R，
∴（1-x）（mx+3）＞0，
當(dāng)m=0時(shí)，x＜1，
當(dāng)m≠0時(shí)，（1-x）（mx+3）=0，x=1，x=-

3

m

，
當(dāng)m＞0時(shí)，（1-x）（mx+3）＞0的解集為；（-

3

m

，1），
當(dāng)-3＜m＜0時(shí)，1＜-

3

m

，解集為；（-

3

m

，+∞）∪（-∞，1）
當(dāng)m=-3時(shí)，解集為；（-∞，1）∪（1，+∞）
當(dāng)m＜-3時(shí)，解集為；（-∞，-

3

m

）∪（1，+∞）
所以q（x）的定義域：當(dāng)m=0時(shí)，（-∞，1），
當(dāng)m＞0時(shí)，（-

3

m

，1），
當(dāng)-3＜m＜0時(shí)，（-

3

m

，+∞）∪（-∞，1）
當(dāng)m=-3時(shí)，（-∞，1）∪（1，+∞）
當(dāng)m＜-3時(shí)，（-∞，-

3

m

）∪（1，+∞）
（2）h（x）=f（x）-g（x）=log

x+1 x-1 a

，
h（3）=-1，a=

1

2

，
∴h（x）=log

x+1 x-1 1 2

=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

，
∵h(yuǎn)（x）＞(

1

2

)x+n
∴設(shè)k（x）=log

(1+ 2 x-1 ) 1 2

-（

1

2

）^x，
∵可以判斷k（x）單調(diào)遞增函數(shù)，∴對(duì)區(qū)間[3，4]上的每一個(gè)x的值，
k（3）=-

9

8

為最小值，
∴不等式h（x）＞(

1

2

)x+n恒成立只需n＜-

9

8

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，屬于中檔題．