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【題目】已知函數f(x)=ln(x﹣1)﹣kx+k+1.
(1)當k=1時,證明:f(x)≤0;
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(3)證明: + +…+ (n∈N* , 且n≥2).

【答案】
(1)證明: k=1時,f(x)=ln(x﹣1)﹣x+2,定義域為(1,+∞),

f'(x)= =

由f'(x)>0,得0<x<2;f'(x)<0,得x>2.

故f(x)在(1,2)上單調遞增,在(2,+∞)上單調遞減

∴f(x)max=f(2)=0

∴f(x)≤0;


(2)解:f'(x)=

∵x>1,∴

①當k≤0是,f'(x)>0恒成立,故f(x)的單調增區(qū)間為(1,+∞),無單調減區(qū)間;

②當k>0時,f'(x)=

由f'(x)>0,得1<x<1+ ;f'(x)<0,得x>1+

故f(x)的單調增區(qū)間為(1,1+ ),單調減區(qū)間為(1+ ,+∞);


(3)證明:由(1)可知,ln(x﹣1)≤x﹣2,x>1,

令x﹣1=t,則lnt≤t﹣1,t>0,

取t=n2,則lnn2≤n2﹣1,即lnn ,

,n∈N*,n≥2

…+ …+ = ,

…+


【解析】(1)利用導數,可知f(x)在(1,2)上單調遞增,在(2,+∞)上單調遞減,故f(x)max=f(2)=0,從而結論成立;(2)f'(x)= ,對k進行分類討論,即可求出單調區(qū)間;(3)由(1)可知,ln(x﹣1)≤x﹣2,令x﹣1=t,則lnt≤t﹣1,再用賦值法,取t=n2 , 則lnn2≤n2﹣1,即lnn ,由此即可證明結論成立.
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性,需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案.

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月份

1

2

3

4

5

違章駕駛員人數

120

105

100

90

85

(1)請利用所給數據求違章人數與月份之間的回歸直線方程

(2)預測該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數.

參考公式: , .

參考數據: .

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