Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，E為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥PE；
（2）求平面APB與平面EPB夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）連接PD，由等腰三角形三線合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由線面垂直的性質(zhì)得到AB⊥PE；
（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夾角公式，可得平面APB與平面EPB夾角的余弦值．

解答： （1）證明：取AB的中點(diǎn)D，連接PD，
∵PA=PB，D為AB中點(diǎn)，
∴PD⊥AB．
∵D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，
∴DE∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DE⊥AB，
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE，
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE；
（2）解：AB⊥平面PDE，DE⊥AB，如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由PA=PB=AB=2，BC=3，
則B（1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，

3

2

，0），
∴

PB

=（1，0，-

3

），

PE

=（0，

3

2

，-

3

）．
設(shè)平面PBE的法向量

n1

=（x，y，z），則

x- 3 z=0 3 2 y- 3 z=0

令z=

3

，得

n1

=（3，2，

3

）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量為

n2

=（0，1，0），
設(shè)平面APB與平面EPB夾角大小為θ，
由圖知，cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

1

2

，
∴θ=60°，
即二面角的A-PB-E大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的判定，性質(zhì)是解答（1）的關(guān)鍵，而（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．