精英家教網如圖,在邊長為1的等邊△ABC中,D、E分別為邊AB、AC上的點,若A關于直線DE的對稱點A1恰好在線段BC上,
(1)①設A1B=x,用x表示AD;②設∠A1AB=θ∈[0°,60°],用θ表示AD
(2)求AD長度的最小值.
分析:(1)①設A1B=x,通過三角形直接表示AD,②設∠A1AB=θ∈[0°,60°],用余弦定理表示x與y的關系,利用正弦定理求出AA1,然后用θ表示AD.
(2)利用換元法以及基本不等式直接求出求AD長度的最小值.通過兩角和的正弦函數(shù)化簡AD的表達式,通過θ的范圍求解三角函數(shù)的最值.
解答:解:(1)設A1B=x,AD=y,在△A1BD中,BD=1-y,A1D=AD=y,
由余弦定理可得y2=(1-y)2+x2-2x(1-y)cos60°
=(1-y)2+x2-x+xy,
∴x2-x+xy-2y+1=0,y=
x2-x+1
2-x
(0≤x≤1),
設∠A1AB=θ∈[0°,60°],
則在△A1BAz中,由正弦定理得,
AA1
sin60°
=
AB
sin∠AA1B
=
AB
sin(θ+60°)
,
∴AA1=
3
2sin(θ+60°)

∴AD=
1
2
AA1
cosθ
=
3
4sin(θ+60°)cosθ
   θ∈[0°,60°]
(2)y=
x2-x+1
2-x
(0≤x≤1),
令t=2-x∈[1,2],∴y=
t2-3t+3
t
=t+
3
t
-3≥2
3
-3

當且僅當t=
3
時,即x=2-
3
時等號成立,AD長度的最小值為2
3
-3

AD=
1
2
AA1
cosθ
=
3
4sin(θ+60°)cosθ

∵4sin(θ+60°)cosθ=2siθcosθ+2
3
cos2θ=sin2θ+
3
(1+cos2θ)=2sin(2θ+60°)+
3

因為θ∈[0°,60°]
所以2θ+60°∈[60°,180°]∴sin(2θ+60°)∈[0,1],
4sin(θ+60°)cosθ∈[
3
,2+
3
]
,∴AD
3
2+
3
=
3
(2-
3
),
∴AD長度的最小值為2
3
-3
,當且僅當θ=
π
12
時取最小值.
點評:本題考查解三角形的知識,余弦定理的應用,兩角和的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值的求法,基本不等式的應用,考查計算能力.
練習冊系列答案
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  (2)(a1+a2+a3++an)的值。

 

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(1)①設A1Bx,用x表示AD;②設∠A1ABθ∈[0º,60º],用θ表示AD

(2)求AD長度的最小值.

 

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