Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=2-(

1

2

)n-1，n∈N．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=（2n-15）a_n．
（i）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（ii）求b_n的最大值．

Answer 1

分析：（I）由數(shù)列的第n項(xiàng)a_n與S_n的關(guān)系，算出當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

1

2

)n-1；結(jié)合a₁=S₁=1，也符合上式，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）（i）由（I）得到b_n=（2n-15）（

1

2

）^n-1，由此利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可算出T_n=-22+（11-2n）•

1

2n-1

；
（i）對{b_n}的連續(xù)兩項(xiàng)作差，化簡得b_n+1-b_n=（-2n+17）（

1

2

）ⁿ，由此可得當(dāng)n＜

17

2

時，得b_n+1-b_n＞0，且當(dāng)n＞

17

2

時b_n+1-b_n＜0．由此得到b₁＜b₂＜b₃…＜b₈＜b₉，且b₉＞b₁₀＞…，即可得到b₉是{b_n}各項(xiàng)中最大值，可得本題答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知，可得
①當(dāng)n≥2時，a_n=Sn-Sn-1=2-(

1

2

)n-1-[2-(

1

2

)n-2]=(

1

2

)n-1           …（2分）
②當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，也符合上式．…（3分）
綜上所述，可得對任意的n∈N^*，{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=（

1

2

）^n-1          …（4分）
（Ⅱ）由（I）得b_n=（2n-15）a_n=（2n-15）（

1

2

）^n-1
（i）T_n=-13+（-11）•

1

2

+（-9）•（

1

2

）²+…+（2n-15）（

1

2

）^n-1
兩邊都乘以

1

2

，得

1

2

T_n=-13•

1

2

+（-11）•（

1

2

）²+（-9）•（

1

2

）³+…+（2n-15）（

1

2

）ⁿ  …（6分）
兩式相減，得

1

2

T_n=-13+2[

1

2

+（

1

2

）²+…+（

1

2

）^n-1]-（2n-15）（

1

2

）ⁿ …（8分）
即

1

2

T_n=-13+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-（2n-15）（

1

2

）ⁿ=-11+（11-2n）•

1

2n

∴T_n=-22+（11-2n）•

1

2n-1

      …（10分）
（ii）∵b_n+1-b_n=（2n-13）（

1

2

）ⁿ-（2n-15）（

1

2

）^n-1=（-2n+17）（

1

2

）ⁿ…（11分）
∴當(dāng)n＜

17

2

時，得b_n+1-b_n＞0，且當(dāng)n＞

17

2

時b_n+1-b_n＜0        …（12分）
由此可得：b₁＜b₂＜b₃…＜b₈＜b₉，且b₉＞b₁₀＞…，
∴b₉是{b_n}各項(xiàng)中最大值…（13分）
又∵b₉=3a₉=3×

1

28

=

3

256

．
因此，b_n的最大值為

3

256

        …（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式、錯位相減法求數(shù)列的和、等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列的單調(diào)性與最值求法等知識，屬于中檔題．