Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的極小值為0，.

①求的值；

②若對(duì)于任意的，，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為（2）①②

【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

（2）①由已知可得，，求出導(dǎo)函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可求解； ②設(shè)，根據(jù)題意只需成立，求出，結(jié)合①分類討論，若，當(dāng)時(shí)，，不滿足，故必有，令，解得，根據(jù)與定義域的關(guān)系進(jìn)行討論：分或，利用導(dǎo)數(shù)求出即可求解.

解：（1）由已知得，

令，方程無實(shí)數(shù)解，

可知對(duì)任意都有，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間.

（2）由已知化簡(jiǎn)得，.

①，令，解得.

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

		0
		極小值

故極小值.因?yàn)闃O小值為0，所以.

②設(shè)，

根據(jù)題意，對(duì)任意的，，有成立，

可得.

由①可知，當(dāng)時(shí)，在處取得最小值0，

又因?yàn)?/span>在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，.

若，則當(dāng)時(shí)，，不符題意，舍去.故必有.

令，解得.

下面根據(jù)與定義域的關(guān)系進(jìn)行討論：

當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

因此在，上遞減，從而當(dāng)，時(shí)，

總有，故符合題意；

當(dāng)，即時(shí)，可知對(duì)任意的，恒成立，

因此在，內(nèi)遞增.

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意.

綜上，的取值范圍是.