Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，S_n=

m

2

（a_n+

1

an

），其中m=

∫

π 6 0

2cosxdx．
（1）求S₁，S₂，S₃，猜想S_n；
（2）請用數(shù)學(xué)歸納法證明之．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用數(shù)列的賦值思想，由定積分得到m=1，則可以得到a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），借助于通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和關(guān)系求解前幾項(xiàng)的和．
（2）猜想得到通項(xiàng)公式．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可．

解答： 解：（1）易得：m=1．∵a_n＞0，∴S_n＞0，
由S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），變形整理得S₁²=1，取正根得S₁=1．
由S₂=

1

2

（a₂+

1

a2

），及a₂=S₂-S₁=S₁-1得S₂=

1

2

（S₂-1+

1

S2-1

），
變形整理得S₂²=2，取正根得S₂=

2

，
同理可求得S₃=

3

．由此猜想S_n=

n

．…（5分）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，上面已求出S₁=1，結(jié)論成立．…（7分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即S_k=

k

．
則n=k+1時(shí)，S_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

）=

1

2

（S_k+1-S_k+

1

Sk+1-Sk

）=

1

2

（S_k+1-

k

+

1

Sk+1- k

）．
整理得S_k+1²=k+1，取正根得S_k+1=

k+1

．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．…（12分）
由①、②可知，對一切n∈N₊，S_n=

n

都成立．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查賦值思想，歸納推理以及數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，考查分析問題解決問題的能力．