Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

．
（1）當a＞0時，判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求實數(shù)a的值；
（3）試求實數(shù)a的取值范圍，使得在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)y=x²的圖象恒在函數(shù)f（x）的圖象的上方．

Answer 1

分析：（1）求出導數(shù)f′（x），易判斷導數(shù)符號，從而可判斷單調(diào)性；
（2）令f′（x）=0，得x=-a，按照-a≤1，-a≥e，1＜-a＜e三種情況進行討論，利用單調(diào)性可求得函數(shù)的最小值，令其為

3

2

可求得a；
（3）x²＞lnx-

a

x

在（1，+∞）上恒成立，即a＞xlnx-x³在（，+∞）上恒成立，等價于a＞（xlnx-x³）_max，令g（x）=xlnx-x³（x＞1），利用導數(shù)可求得g（x）的最大值；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

（x＞0），
當a＞0時，f（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）由f′（x）=0，得x=-a，
①當a≥-1時，f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

（舍）；
②當a≤-e時，f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
則f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，得a=-

e

2

（舍），
③當-e＜a＜-1時，由f（x）=0，得x₀=-a，
當1＜x＜x₀時，f′（x）＜0，f（x）在[1，x₀]上為減函數(shù)，
當x₀＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）在[x₀，e]上為增函數(shù)；
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1+

3

2

，得a=-

e

，
綜上，a=-

e

；
（3）由題意得x²＞lnx-

a

x

在（1，+∞）上恒成立，即a＞xlnx-x³在（，+∞）上恒成立，
設g（x）=xlnx-x³（x＞1），則g′（x）=lnx-3x²+1，
令h（x）=lnx-x³+1，則h′（x）=

1

x

-6x，
當x＞1時，h′（x）＜0恒成立，
∴h（x）=g′（x）=lnx-3x²+1在（1，+∞）上為減函數(shù)，
則g′（x）＜g′（1）=-2＜0，
所以，g（x）在在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=-1，
故a≥-1．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決．