在數(shù)列{}中,,并且對(duì)任意都有成立,令

(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,證明:

 

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)見(jiàn)解析

【解析】

試題分析:(I)、當(dāng)n=1時(shí),先求出b1=3,當(dāng)n≥2時(shí),求得b n+1與bn的關(guān)系即可知道bn為等差數(shù)列,然后便可求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(II)根據(jù)(I)中求得的bn的通項(xiàng)公式先求出數(shù)列{}的表達(dá)式,然后求出Tn的表達(dá)式,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明<Tn

解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),,當(dāng)時(shí),

所以------------4分

所以數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為-------------5分

(Ⅱ)------------------------------------7分

-------------------11分

可知Tn是關(guān)于變量n的增函數(shù),當(dāng)n趨近無(wú)窮大時(shí),的值趨近于0,

當(dāng)n=1時(shí)Tn取最小值,故有----------------14分

考點(diǎn):本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列與不等式的結(jié)合,考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握,解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題

點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是運(yùn)用整體的思想來(lái)表示出遞推關(guān)系,然后進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性的思想來(lái)放縮得到證明。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=
1
3
,并且對(duì)于任意n∈N*,且n>1時(shí),都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(I)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和Tn,并證明Tn
3
4
-
1
n+2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=1,并且對(duì)于任意n∈N*,都有an+1=
an
2an+1

證明:數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

記公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=2+
2
,S3=12+3
2

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn;
(2)記bn=an-
2
,若自然數(shù)n1,n2,…,nk,…滿足1≤n1<n2<…<nk<…,并且b n1,b n2,…,b nk,…成等比數(shù)列,其中n1=1,n2=3,求nk(用k表示);
(3)試問(wèn):在數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)ar,as,at(r<s<t,r,s,t∈N*)恰好成等比數(shù)列?若存在,求出此三項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:陜西省模擬題 題型:解答題

在數(shù)列{an}中,,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an·an-1=an-1-an成立,令,
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn。

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