Question

已知正方形ABCD的中心在原點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)f(x)＝ax³＋bx(a＞0)圖象上．

(1)若正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為(2，1)，求a，b的值，并求出此時(shí)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若正方形ABCD唯一確定，試求出b的值．

【題類】其他

Answer 1

答案：
解析：

(1)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4139/0020/9f7eb0ece94d765790b8248cafc9be03/C/Image113.gif" width=68 HEIGHT=20>，所以，因此， 　　所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為　　2分 　　由得，由，得　　4分 　　(2)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4139/0020/9f7eb0ece94d765790b8248cafc9be03/C/Image123.gif" width=258 height=38>， 　　所以，由題意知在上有解， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4139/0020/9f7eb0ece94d765790b8248cafc9be03/C/Image127.gif" width=34 height=17>，設(shè)，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4139/0020/9f7eb0ece94d765790b8248cafc9be03/C/Image129.gif" width=70 HEIGHT=20>， 　　則只要解得， 　　所以b的取值范圍　　8分 　　(3)不妨設(shè)．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以， 　　函數(shù)圖象的對稱軸為，且， 　　(ⅰ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以， 　　所以等價(jià)于， 　　即， 　　等價(jià)于在區(qū)間上是增函數(shù)， 　　等價(jià)于在區(qū)間上恒成立， 　　等價(jià)于在區(qū)間上恒成立， 　　 　�、郛�(dāng)時(shí)， 　　由圖象的對稱性知，只要對于①②同時(shí)成立，那么對于③， 　　則存在， 　　使恒成立； 　　或存在， 　　使恒成立． 　　因此，． 　　綜上，b的取值范圍是　　16分