Question

（2012•西山區(qū)模擬）遞減等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₇=10，a₂•a₄=45，
①求{a_n}的通項公式a_n．
②若b_n=|a_n|，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：①設(shè)出公差d根據(jù)條件a₁+a₇=10，a₂•a₄=45可得到關(guān)于d，a₁的方程組即可求出d，a₁（但要注意d＜0）然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出a_n．
②根據(jù)①可令a_n≥0可判斷出等差數(shù)列{a_n}的正負項的分布情況然后再結(jié)合s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|對n進行討論去掉絕對值再利用等差數(shù)列{a_n}的前n項和公式即可求解．

解答：解：①設(shè)遞減等差數(shù)列{a_n}的公差為d則d＜0
∵a₁+a₇=10，a₂•a₄=45
∴

2a1+6d=10 (a1+d)(a1+3d)=45

∴

a1=11 d=-2

∴a_n=13-2n
②由①知a_n=13-2n
令a_n≥0
∴n≤

13

2

∴等差數(shù)列{a_n}的前6項均正從第7項開始均負
∴當n≤6時s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a_n
=

n(11+13-2n)

2

=n（12-n）
當n＞6時s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+…+a_n）
=（a₁+a₂+…+a₆）-[（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a₆）]
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）
=2s₆-s_n
=36+（n-6）²
綜上：Sn=

n(12-n)，(n≤6) 36+(n-6)2，(n＞6)

點評：本題主要考查了等差數(shù)列通項公式的求解以及利用等差數(shù)列的性質(zhì)求數(shù)列b_n=|a_n|的前n項和，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列{a_n}的通項a_n判斷出等差數(shù)列{a_n}的正負項的分布情況再結(jié)合s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|對n進行即可！