Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是棱AB的中點，BC=1，A₁C與平面ABC所成的角為

π

3

．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁DC；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的大�。�

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC₁，與A₁C交于O，利用正棱柱的性質(zhì)得到O是AC₁的中點，又D是棱AB的中點，得到OD∥BC₁，利用線面平行的判定可證；
（Ⅱ）分別以DA，DC為x，y軸，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，利用平面的法向量夾角與平面角的關(guān)系解答．

解答： 解：（Ⅰ）連接AC₁，與A₁C交于O，
因為是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以側(cè)面是平行四邊形，
所以O是AC₁的中點，又D是棱AB的中點，
所以OD∥BC₁，
因為OD?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
所以BC₁∥平面A₁DC；
（Ⅱ）分別以AC，AA₁為y，z軸，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，
因為正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中點D是棱AB的中點，BC=1，A₁C與平面ABC所成的角為

π

3

．
所以AA₁⊥底面ABC，
所以∠A₁AC為A₁C與平面ABC所成的角為

π

3

．
所以A₁C=2，AA₁=

3

．
則A（0，0，0），D（

3

4

，

1

4

，0），C（0，1，0），A₁（0，0，

3

），
所以

CA1

=（0，-1，

3

），

AC

=（0，1，0），

DC

=（-

3

4

，

3

4

，0），
所以平面ACA₁的法向量為

n

=（1，0，0），平面CDA₁的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • CA1 =0 m • DC =0

，即

-y+ 3 z=0 - 3 4 x+ 3 4 y=0

，令z=1，得到一個法向量

m

=（3，

3

，1），
所以cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

3

13

=

3 13

13

；
所以二面角D-A₁C-A的大小為arccos

3 13

13

．

點評：本題考查了線面平行的判定定理的運用以及二面角的求法；關(guān)鍵是利用向量法借助于向量的數(shù)量積，前提是適當建立坐標系，正確找出所需向量的坐標．