已知a>1,若函數(shù)f(x)=
ax,-1<x≤1
f(x-2)+a-1,1<x≤3
,則f[f(x)]-a=0的根的個(gè)數(shù)最多有( 。
分析:設(shè)t=f(x),則方程轉(zhuǎn)化為f(t)-a=0,即f(t)=a,然后根據(jù)函數(shù)的圖象確定x解的個(gè)數(shù).
解答:解:設(shè)t=f(x),則方程轉(zhuǎn)化為f(t)-a=0,即f(t)=a,
當(dāng)1<x≤3時(shí),-1<x-2≤1,
∴此時(shí)f(x)=f(x-2)+a-1=ax-2+a-1.
當(dāng)-1<x≤1時(shí),
1
a
<f(x)≤a
,
當(dāng)1<x≤3時(shí),
1
a
+a-1<f(x)≤2a-1
,.
∵a>1,∴2a-1>a.
1
a
+a-1≥2
1
a
?a
-1=2-1=1

由圖象可知,∵f(t)=a>1,∴當(dāng)
1
a
+a-1<t<a
時(shí),t最多有兩個(gè)解.
其中t<1,或1<t<3.
當(dāng)t<1時(shí),函數(shù)t=f(x),只有一解x∈(-1,1),
當(dāng)1<t<3.函數(shù)t=f(x),最多有2個(gè)解.
故f[f(x)]-a=0的根的個(gè)數(shù)最多有3個(gè).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題只有考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為f(t)=a,然后利用圖象確定方程根的個(gè)數(shù),綜合性較強(qiáng),難度較大.
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(1,5)∪{
-3-
7
2
}
(1,5)∪{
-3-
7
2
}

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1
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[  ]
A.

[,+∞)

B.

[,+∞)

C.

[1,+∞)

D.

[,+∞)

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[  ]
A.

[,+∞)

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[,+∞)

C.

[1,+∞)

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[,+∞)

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