Question

20．已知拋物線(xiàn)y=x²和直線(xiàn)l：y=kx+m（m＞0）交于兩點(diǎn)A、B，當(dāng)$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（0，2）；當(dāng)m=$\frac{1}{4}$時(shí)，以AB為直徑的圓與直線(xiàn)$y=-\frac{1}{4}$相切．

Answer 1

分析 將直線(xiàn)代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得m的值，求得直線(xiàn)l的方程求得直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，2）；
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓M的圓心，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得m的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：x²-kx-m=0，
則x₁+x₂=k，x₁x₂=-m，
y₁y₂=（x₁x₂）²=m²，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=k²+2m，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，則x₁x₂+y₁y₂=m²-m=2，即m²-m-2=0，解得：m=-1或m=2，
由m＞0，則m=2，
直線(xiàn)l：y=kx+2，
∴直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（0，2），
設(shè)以AB為直徑的圓的圓心M（x，y），圓M與$y=-\frac{1}{4}$相切于P，
由x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{2}$，則P（$\frac{k}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
由題意可知：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，即（x₁-$\frac{k}{2}$，y₁+$\frac{1}{4}$）•（x₂-$\frac{k}{2}$，y₂+$\frac{1}{4}$）=0，
整理得：x₁x₂-$\frac{k}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{4}$+y₁y₂+$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）+$\frac{1}{16}$=0，
代入整理得：m²-$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{16}$=0，解得：m=$\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)m=$\frac{1}{4}$，以AB為直徑的圓與直線(xiàn)$y=-\frac{1}{4}$相切．
故答案為：（0，2），$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．