設(shè)數(shù)列{a
n},{b
n}滿足a
1=1,b
1=0且
n=1,2,3,…(Ⅰ)求λ的值,使得數(shù)列{a
n+λb
n}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{a
n}和{b
n}的通項公式;
(Ⅲ)令數(shù)列{a
n}和{b
n}的前n項和分別為S
n和S'
n,求極限
的值.
分析:(Ⅰ)令c
n=a
n+λb
n,其中λ為常數(shù),通過{c
n}為等比數(shù)列,則存在q≠0使得c
n+1=a
n+1+λb
n+1=q(a
n+λb
n).
推出(2+λ-q)a
n+(3+2λ-λq)b
n=0,n=1,2,3,然后列出方程組
消去q解得
λ=±.然后驗證當(dāng)
λ=時,數(shù)列
{an+bn}為等比數(shù)列.即可.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)直接求出數(shù)列{a
n}和{b
n}的通項公式;
(Ⅲ)令數(shù)列{d
n}的通項公式為
dn=(2+)n-1,它是公比為
p=2+的等比數(shù)列,令其前n項和為P
n;令數(shù)列{e
n}的通項公式為
en=(2-)n-1,它是公比為
p′=2-的等比數(shù)列,令其前n項和為P'
n.求出
,由于
==2-,則
=0,于是
=0,通過
P′n=,然后求解
=.
解答:解:滿分(12分).
(Ⅰ)令c
n=a
n+λb
n,其中λ為常數(shù),若{c
n}為等比數(shù)列,則存在q≠0使得c
n+1=a
n+1+λb
n+1=q(a
n+λb
n).
又a
n+1+λb
n+1=2a
n+3b
n+λ(a
n+2b
n)=(2+λ)a
n+(3+2λ)b
n.
所以q(a
n+λb
n)=(2+λ)a
n+(3+2λ)b
n.
由此得(2+λ-q)a
n+(3+2λ-λq)b
n=0,n=1,2,3,(2分)
由a
1=1,b
1=0及已知遞推式可求得a
2=2,b
2=1,把它們代入上式后得方程組
消去q解得
λ=±. (4分)
下面驗證當(dāng)
λ=時,數(shù)列
{an+bn}為等比數(shù)列.
an+1+bn+1=(2+)an+(3+2)bn=(2+)(an+bn)(n=1,2,3,…),
a1+b1=1≠0,從而
{an+bn}是公比為
2+的等比數(shù)列.
同理可知
{an-bn}是公比為
2-的等比數(shù)列,于是
λ=±為所求.(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)的結(jié)果得
an+bn=(2+)n-1,
an-bn=(2-)n-1,解得
an=[(2+)n-1+(2-)n-1],
bn=[(2+)n-1-(2-)n-1].(9分)
(Ⅲ)令數(shù)列{d
n}的通項公式為
dn=(2+)n-1,它是公比為
p=2+的等比數(shù)列,令其前n項和為P
n;
令數(shù)列{e
n}的通項公式為
en=(2-)n-1,它是公比為
p′=2-的等比數(shù)列,令其前n項和為P'
n.
由第(Ⅱ)問得
Sn=(Pn+P′n),
S′n=(Pn-P′n).
=•=•.
由于數(shù)列{e
n}的公比
0<2-<1,則
P′n=.
==,
由于
==2-,則
=0,
于是
=0,所以
=(12分)
點評:本小題主要考查數(shù)列的概念與性質(zhì),等比數(shù)列的證明,待定系數(shù)法,數(shù)列求和與數(shù)列極限,考查思維能力、運算能力和綜合解題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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數(shù)列{a
n}的首項為1,前n項和是S
n,存在常數(shù)A,B使a
n+S
n=An+B對任意正整數(shù)n都成立.
(1)設(shè)A=0,求證:數(shù)列{a
n}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,若p<q,且
+=,求p,q的值.
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bn=.
(1)試判斷數(shù)列{b
n}是否為等差數(shù)列?并求數(shù)列{b
n}的通項公式;
(2)令
Tn=b1×b3×b5×…×b(2n-1) |
b2×b4×b6×…b2n |
,是否存在實數(shù)a,使得不等式
Tn<log2(a+1)對一切n∈N
*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(3)比較
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2=6,a
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n+1-(5n+2)S
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an=5n-4
an=5n-4
.
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(1)若a=2,b=-3,求b10;
(2)若a=2,b=-1,求數(shù)列{bm}的前2m項和公式.
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