精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2.
(1)求證:A1C1⊥AB;
(2)求點B1到平面ABC1的距離.
分析:(1)欲證A1C1⊥AB,可先證A1C1⊥平面ABB1,根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證AB1⊥A1C1,A1C1⊥BB1;
(2)由(1)知點B1到平面ABC1的距離是三棱錐B1-ABC1的高,求出S△ABC1,再利用換低公式和體積相等求出點B1到平面ABC1的距離.
解答:(1)證明:連接A1B,則A1B⊥AB1
又∵AB1⊥BC1,
∴AB1⊥平面A1BC1
∴AB1⊥A1C1
又∵A1C1⊥BB1
∴A1C1⊥平面ABB1
∴A1C1⊥AB.
(2)解:由(1)知AB⊥AC,∵AB⊥AC1,
又∵AB=1,BC=2,
∴AC=
3
,AC1=2.
S△ABC1=1.
設所求距離為d,
VB1-ABC1=VC1-ABB1
1
3
SABC1•d=
1
3
S△ABB1
•A1C1
1
3
•1•d=
1
3
1
2
3

∴d=
3
2
.點B1到平面ABC1的距離d=
3
2
點評:本題主要考查了直線與平面垂直的判定,以及點、線、面間的距離計算等有關知識,注意求點到面的距離可用體積相等和換底求解;屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學 題型:解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

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P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

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(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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