Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m為正常數(shù)）
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列{b_n}滿足：b₁=2a₁，b_n=

bn-1

1+bn-1

（n≥2，n∈N₊），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列{

2n+1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=1，（1+m）a_n=ma_n-1，從而

an

an-1

=

m

1+m

，（n≥2），由此能證明數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

m

1+m

的等比數(shù)列．
（2）由b₁=2a₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

（n≥2，n∈N₊），得

1

bn

-

1

bn-1

=1，（n≥2），從而{

1

bn

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出b_n=

2

2n-1

，（n∈N^*）．
（3）由b_n=

2

2n-1

，得

2n+1

bn

=2ⁿ（2n-1），由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

2n+1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n，即（1+m）a_n=ma_n-1，
∵m為常數(shù)，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

，（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

m

1+m

的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得，b₁=2a₁=2，b_n=

bn-1

1+bn-1

（n≥2，n∈N₊），
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1，（n≥2），
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-2

2

，
∴b_n=

2

2n-1

，（n∈N^*）．
（3）解：由（2）知，b_n=

2

2n-1

，則

2n+1

bn

=2ⁿ（2n-1），
∴T_n=2×1+2²×3+2³×5+…+2ⁿ×（2n-1），①
則2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5+…+2ⁿ⁺¹×（2n-1），②
②-①得，T_n=2ⁿ⁺¹×（2n-1）-2-2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹，
故T_n=2ⁿ⁺¹×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ⁺¹×（2n-3）+6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．