Question

【題目】如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，點(diǎn)M是線段EC的中點(diǎn)．

（1）求證：BM∥平面ADEF；

（2）求證：平面BDE⊥平面BEC；

（3）求平面BDM與平面ABF所成的角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．運(yùn)用中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；

（2）運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證；

（3）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE為x，y，z軸，建立空間的直角坐標(biāo)系，求得A，B，C，D，E，M的坐標(biāo)，運(yùn)用向量垂直的條件，求得平面BDM和平面ABF的法向量，再由向量的夾角公式，計(jì)算即可得到所求值．

（1）證明：取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．

在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)，

則MN∥CD且．

由已知AB∥CD，，

得MN∥AB，且MN=AB，四邊形ABMN為平行四邊形，BM∥AN，

因?yàn)锳N平面ADEF，且BM平面ADEF∴BM∥平面ADEF．

（2）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．又平面ADEF⊥平面ABCD，

平面ADEF∩平面ABCD=AD，

∴ED⊥平面ABCD．∴ED⊥BC．

在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，

得．在△BCD中，，CD=4，

可得BC⊥BD．又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．

又BC平面BEC，則平面BDE⊥平面BEC．

（3）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），

D（0，0，0），E（0，0，2）．

因?yàn)辄c(diǎn)M是線段EC的中點(diǎn)，

則M（0，2，1），，又．

設(shè)是平面BDM的法向量，

則，．

取x1=1，得y1=﹣1，z1=2，即得平面BDM的一個(gè)法向量為 ．

由題可知，是平面ABF的一個(gè)法向量．

設(shè)平面BDM與平面ABF所成銳二面角為θ，

因此，．