Question

如圖，如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°．
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知中M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（t，t，0）．根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程，即可確定M點(diǎn)的位置．
（Ⅱ）分別求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F-BE-D的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)镈A，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示．
因?yàn)锽E與平面ABCD所成角為60⁰，即∠DBE=60°，
所以

ED

DB

=

3

．
由AD=3，可知DE=3

6

，AF=

6

．
則A（3，0，0），F(xiàn)（3，0，

6

），E（0，0，3

6

），
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以

BF

=（0，-3，

6

），

EF

=（3，0，-2

6

）．
設(shè)平面BEF的法向量為n=（x，y，z），
則

n • BF =-3y+ 6 z=0 n • EF =3x-2 6 z=0

，
令z=

6

，則

n

=（4，2，

6

）．
點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（t，t，0）．
則

AM

=（t-3，t，0）．
因?yàn)锳M∥平面BEF，
所以

AM

•

n

=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，2，0），
即當(dāng)BM

1

3

時(shí)，AM∥平面BEF．
（Ⅱ）因?yàn)锳C⊥平面BDE，所以

CA

為平面BDE的法向量，

CA

=（3，-3，0）．
所以cos＜

n

，

CA

＞=

6

3 2 • 26

=

13

13

．
因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角F-BE-D的余弦值為

13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與平面垂直的判定，向量法確定直線與平面的位置關(guān)系．