Question

（1）如圖，對于任一給定的四面體,找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；

   （2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離都為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：，求該正四面體的體積．

Answer 1

（1）       如圖所示，取A₁A₄的三等分點P₂，P₃，A₁A₃的中點M，

 

A₂A₄的中點N，過三點A₂，P₂，M作平面，過三點A₃，P₃，N作平面，因為A₂P₂//NP₃，A₃P₃//MP₂，所以平面//平面，再過點A₁，A₄分別作平面與平面平行，那么四個平面依次相互平行，由線段A₁A₄被平行平面截得的線段相等知，其中每相鄰兩個平面間的距離相等，故為所求平面。

   （2）解法一：當（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個平行平面，每相鄰兩平面之間的距離為1，則正四面體A₁A₂A₃A₄就是滿足題意的正四面體，設正四面體的棱長為a，以△A₂A₃A₄的中心O為坐標原點，以直線A₄O為y軸，直線OA₁為z軸建立如圖的右手直角坐標系，

令P₂，P₃為A₁A₄的三等分點，N為A₂A₄的中點，有

設平面A₃P₃N的法向量

有

所以，

因為相鄰平面之間的距離為1，所以點A₄到平面A₃P₃N的距離

解得，由此可得，邊長為的正四面體A₁A₂A₃A₄滿足條件。

所以所求正四面體的體積

   

    解法二：如圖，現(xiàn)將此正四面體A₁A₂A₃A₄置于一個正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，（或者說，在正四面體的四個面外側各鑲嵌一個直角三棱錐，得到一個正方體），E₁，F(xiàn)₁分別是A₁B₁，C₁D₁的中點，EE₁D₁D和BB₁F₁F是兩個平行平面，若其距離為1，則四面體A₁A₂A₃A₄即為滿足條件的正四面體。右圖是正方體的上底面，現(xiàn)設正方體的棱長為a，若A₁M=MN=1，則有

   

    據(jù)A₁D₁×A₁E₁=A₁M×D₁E₁，得，

    于是正四面體的棱長

    其體積

   （即等于一個棱長為a的正方體割去四個直角正三棱錐后的體積）