Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，求
（1）函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x對稱中心為________．
（2）若函數(shù)g（x）=x³-x²+3x-+，則g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=________．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x對稱中心為（1，1），
故答案為 （1，1）．
（2）若函數(shù)g（x）=x³-x²+3x-+=x³-x²+3x-+，令h（x）=x³-x²+3x-，m（x）=，則g（x）=h（x）+m（x）．
則h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=，故h（x）的對稱中心為（，1）．
設(shè)點p（x₀，y₀）為曲線上任意一點，則點P關(guān)于（，1）的對稱點P′（1-x₀，2-y₀）也在曲線上，
∴h（1-x₀）=2-y₀ ，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）
=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010．
由于函數(shù)m（x）=的對稱中心為（，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．
∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）
=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．
∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）
+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）
=2010+0=2010，
故答案為2010．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x對稱中心．
（2）令h（x）=x³-x²+3x-，m（x）=，則g（x）=h（x）+m（x）．利用對稱性求得h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=2010，求得m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=0，從而求得g（x）=h（x）+m（x）的值．
點評：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡計算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于難題．