Question

相交弦定理、割線定理、切割線定理在表述形式上非常類似，定理中都涉及到兩條線段的積相等，那么這些定理有什么內(nèi)在聯(lián)系？定理中兩條線段的積能確定具體數(shù)值嗎？

Answer 1

思路:相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似三角形結(jié)合的產(chǎn)物.每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是公共點(diǎn)，另一個(gè)是與圓的交點(diǎn).

探究:相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理這幾個(gè)定理可統(tǒng)一記憶成一個(gè)定理：過圓內(nèi)或圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點(diǎn)分（內(nèi)分或外分）成兩線段長(zhǎng)的積相等（至于切線可看作是兩條交點(diǎn)重合的割線）.兩條線段的長(zhǎng)的積是常數(shù)PA·PB=|R²-d²|，其中d為定點(diǎn)P到圓心O的距離.若P在圓內(nèi)，d＜R，則該常數(shù)為R²-d²；若P在圓上，d=R，則該常數(shù)為0；若P在圓外，d＞R，則該常數(shù)為d²-R².使用時(shí)注意每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是公共點(diǎn)，另一個(gè)是與圓的交點(diǎn).

在實(shí)際應(yīng)用中，見圓中有兩條相交弦想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長(zhǎng)定理，并熟悉此時(shí)圖形中存在著一個(gè)以交點(diǎn)和圓心連線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形.