Question

已知直角的三邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足
（1）在之間插入2011個(gè)數(shù)，使這2013個(gè)數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，且它們的和為，求的最小值；
（2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿(mǎn)足條件的三角形的面積從小到大排成一列，且，求滿(mǎn)足不等式的所有的值；
（3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿(mǎn)足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，且是正整數(shù).

Answer 1

（1）最小值為； （2） 2、3、4.
（3）證明：由成等比數(shù)列，.
由于為直角三角形的三邊長(zhǎng)，證明數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形. 證得，
故對(duì)于任意的都有是正整數(shù).

試題分析：（1）是等差數(shù)列，∴，即. 2分
所以，的最小值為； 4分
（2） 設(shè)的公差為，則 5分
設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為，面積，，
. 7分
由得，
當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 9分
綜上所述，滿(mǎn)足不等式的所有的值為2、3、4. 10分
（3）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010915546450.png" style="vertical-align:middle;" />成等比數(shù)列，.
由于為直角三角形的三邊長(zhǎng)，知，， 11分
又，得，
于是
.… 12分
，則有.
故數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形. 14分
因?yàn)?，

， 15分
由，同理可得，
故對(duì)于任意的都有是正整數(shù). 16分
點(diǎn)評(píng)：難題，本題綜合性較強(qiáng)，涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式及構(gòu)成直角三角形的條件。對(duì)法則是自點(diǎn)變形能力要求高，易出錯(cuò)。