(2013•潮州二模)如圖所示,已知AB為圓O的直徑,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),且AD=
1
3
DB,點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn),且BC=
3
AC.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,PD=DB.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求二面角C-PB-A的余弦值.
分析:(1)先利用平面幾何知識(shí)與線面垂直的性質(zhì)證線線垂直,由線線垂直⇒線面垂直,再由線面垂直⇒線線垂直;
(2)通過作出二面角的平面角,證明符合定義,再在三角形中求解.
解答:解析:(1)連接OC,由AD=
1
3
BD知,點(diǎn)D為AO的中點(diǎn),
又∵AB為圓的直徑,∴AC⊥BC,
3
AC=BC,∴∠CAB=60°,
∴△ACO為等邊三角形,∴CD⊥AO.
∵點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,
∴PD⊥平面ABC,又CD?平面ABC,
∴PD⊥CD,PD∩AO=D,
∴CD⊥平面PAB,PA?平面PAB,
∴PA⊥CD.
(2)過點(diǎn)D作DE⊥PB,垂足為E,連接CE,
由(1)知CD⊥平面PAB,又PB?平面PAB,
∴CD⊥PB,又DE∩CD=D,
∴PB⊥平面CDE,又CE?平面CDE,
∴CE⊥PB,
∴∠DEC為二面角C-PB-A的平面角.
由(1)可知CD=
3
,PD=BD=3,
∴PB=3
2
,則DE=
PD×BD
PB
=
3
2
2
,
∴在Rt△CDE中,tan∠DEC=
CD
DE
=
6
3
,
∴cos∠DEC=
15
5
,即二面角C-PB-A的余弦值為
15
5
點(diǎn)評(píng):本題考查線線垂直的判定、二面角的平面角及求法.二面角的求法:法1、作角(根據(jù)定義作二面角的平面角)--證角(符合定義)--求角(解三角形);
法2、空間向量法,求得兩平面的法向量,再利用向量的數(shù)量積公式求夾角的余弦值.
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