Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂.過F₁的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過F₂的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P.

（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；

（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）四邊形ABCD的面積的最小值為

【解析】證明：

（Ⅰ）橢圓的半焦距.

由AC⊥BD知點(diǎn)P在以線段F₁F₂為直徑的圓上，

故 ，

所以， 

   （Ⅱ）（i）當(dāng)BD的斜率k存在且k≠0時(shí)，BD的方程為代入橢圓方程

，并化簡(jiǎn)得  

設(shè)，則

因?yàn)?i>AC與BD相交于點(diǎn)P，且AC的斜率為  ，

所以， 

四邊形ABCD的面積

當(dāng)k²=1時(shí)，上式取等號(hào)。

（ii）當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4.

綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為