【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù),且,在以為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系(兩種坐標系取相同的單位長度)中,曲線的極坐標方程為,設直線經(jīng)過定點,且與曲線交于、兩點.

(Ⅰ)求點的直角坐標及曲線的直角坐標方程;

(Ⅱ)求證:不論為何值時,為定值.

【答案】(Ⅰ)直角坐標為,;(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,令直線的參數(shù)方程中即可求出點的直角坐標,整理化簡曲線的極坐標方程,結(jié)合,即可得到曲線的直角坐標方程;

(Ⅱ)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程,根據(jù)參數(shù)的幾何意義,利用韋達定理即可證明為定值.

(Ⅰ)因為直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù),且,

所以當時,得點,即點的直角坐標為;

又曲線的極坐標方程為,

,,

,,

即曲線的直角坐標方程為;

(Ⅱ)證明:將直線的參數(shù)方程代入

整理得,其中

所以判別式△

由韋達定理可得,,,

由參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得,

,

即不論為何值時,都為定值1

練習冊系列答案
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【題目】中,角的對邊分別為,且,若的面積為,則的最小值為( )

A.B.C.D.3

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【題目】為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關,對該班40名學生進行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:

男生

女生

總計

喜愛打籃球

19

15

34

不喜愛打籃球

1

5

6

總計

20

20

40

1)在女生的20個個體中,隨機抽取2人,記隨機變量為抽到“不喜愛籃球”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望

2)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的條件下認為喜愛籃球與性別有關?

附:,其中

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】造紙術是我國古代四大發(fā)明之一,紙張的規(guī)格是指紙張制成后,經(jīng)過修整切邊,裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國采用國際標準,規(guī)定以、、;、、、等標記來表示紙張的幅面規(guī)格.復印紙幅面規(guī)格只采用系列和系列,共中系列的幅面規(guī)格為:①規(guī)格的紙張的幅寬(表示)和長度(表示)的比例關系為;②將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為規(guī)格,紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分,便成為規(guī)格,,如此對開至規(guī)格.現(xiàn)有、、紙各一張.若紙的面積為.則這9張紙的面積之和等于__________

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【題目】如圖,正方體的棱長為1,有下列四個命題:

與平面所成角為;

②三棱錐與三棱錐的體積比為;

③過點作平面,使得棱,在平面上的正投影的長度相等,則這樣的平面有且僅有一個;

④過作正方體的截面,設截面面積為,則的最小值為.

上述四個命題中,正確命題的序號為______.

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【題目】如圖,在幾何體中,平面底面,四邊形是正方形,,的中點,且,

1)證明://平面;

2)求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】成書于公元一世紀的我國經(jīng)典數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一道名題,就是“引葭赴岸”問題,題目是:“今有池方一丈,點生其中央,出水一尺,引葭趕岸,適馬岸齊,問水深,葭長各幾何?”題意是:有一正方形池塘,邊長為一丈(10尺),有棵蘆葦長在它的正中央,高出水面部分有1尺長,把蘆葦拉向岸邊,恰好碰到沿岸(池塘一邊的中點),則水深為__________尺,蘆葦長__________.

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【題目】近年來,隨著國家綜合國力的提升和科技的進步,截至年底,中國鐵路運營里程達萬千米,這個數(shù)字比年增長了倍;高鐵運營里程突破萬千米,占世界高鐵運營里程的以上,居世界第一位.如表截取了年中國高鐵密度的發(fā)展情況(單位:千米/萬平方千米).

年份

年份代碼

高鐵密度

已知高鐵密度與年份代碼之間滿足關系式為大于的常數(shù)).

1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關于的回歸方程(精確到位);

2)利用(1)的結(jié)論,預測到哪一年,高鐵密度會超過千米/萬平方千米.

參考公式:設具有線性相關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)為,則回歸方程的系數(shù):,

參考數(shù)據(jù):,,,,,

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【題目】某土特產(chǎn)超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計,得到如下人數(shù)分布表.

購買金額(元)

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

不少于60

少于60

合計

40

18

合計

2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購買金額不少于60元可抽獎3次,每次中獎概率為(每次抽獎互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率),中獎1次減5元,中獎2次減10元,中獎3次減15.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn),請列出實際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學期望.

附:參考公式和數(shù)據(jù):,.

附表:

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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