(14分)直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A、B．

(1)求實數(shù)k的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

 

【答案】

(1)－2<k<－．(2) k＝－．

【解析】(1)直線與雙曲線方程聯(lián)立消y得關于x的一元二次方程，根據(jù)判別式大于零，可求出k的取值范圍.

(2) 解本題的突破口是假設存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0)，則由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，

整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0再根據(jù)韋達定理解決即可.

(1)將直線l的方程y＝kx＋1代入雙曲線方程2x2－y2＝1后，整理得：

(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①

解：依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故

，解得－2<k<－．

(2)設A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由①式得②，

假設存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c,0)，則由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0，

整理得：(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③

把②式及c＝代入③式化簡得5k2＋2k－6＝0，解得

k＝－或k＝∉(－2，－)(舍去)．

可得k＝－使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面上的動點P（x，y）及兩定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是k1，k2，且k1•k2=-
1
4
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于M，N兩點，且直線BM、BN的斜率都存在，并滿足kBM•kBN=-
1
4
，求證：直線l過原點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面上的動點P（x，y）及兩定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是 k1，k2且k1•k2=-
1
4
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設直線l：y=kx+m與曲線C交于不同的兩點M，N．
①若OM⊥ON（O為坐標原點），證明點O到直線l的距離為定值，并求出這個定值
②若直線BM，BN的斜率都存在并滿足kBM•kBN=-
1
4
，證明直線l過定點，并求出這個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某大型企業(yè)2010年和2011年進行科技創(chuàng)新，企業(yè)有效轉型，產(chǎn)品大規(guī)模升級，該企業(yè)2012年季度利潤和季度能源成本分別為x、y，其值見表，x單位為千萬元，y單位為十萬元．下面四個結論：
季度 1 2 3 4
x 30 31 33 34
y 18 16 14 12
①點（x，y）構成的圖形是散點圖，這些點不在一條直線上；
②季度利潤與季度能源成本正相關；
③若直線l：
?
y
=
?
b
x+
?
a
是季度能源成本與季度利潤的回歸直線，則直線l經(jīng)過點（32，15）；
④由表可知2013年春季的利潤為3.55億元，能源成本為100萬元．
其中正確的是
 
（只填結論番號，多填少填錯填均得零分）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年周至二中四模理）( 14分)

直線l:ax－y－1=0與曲線C：x2－2y2=1交于P、Q兩點，

(1)當實數(shù)a為何值時，|PQ|=2.

(2)是否存在a的值，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

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