Question

14．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，+∞），部分對(duì)應(yīng)值如表，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則$\frac{b+2}{a+2}$的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，3）

x	-1	0	4
f（x）	1	-1	1

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)圖象可知當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．對(duì)于可行域不要求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，而$\frac{b+2}{a+2}$ 是求可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)（-2，-2）構(gòu)成的直線的斜率問(wèn)題．由圖象可得結(jié)論

解答 解：由表格可得f（-1）=f（4）=1．
由導(dǎo)數(shù)圖象可知當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，
則f（2a+b）＜f（4），
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\\{2a+b＜4}\end{array}\right.$，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：幾何意義表示為動(dòng)點(diǎn)Q（a，b）到定點(diǎn)P（-2，-2）點(diǎn)的斜率的取值范圍．
由題意知A（0，4），B（2，0），
所以AP的斜率為$\frac{4-（-2）}{0-（-2）}$=3，
BP的斜率為$\frac{0-（-2）}{2-（-2）}$=$\frac{1}{2}$，
所以則k=$\frac{b+2}{a+2}$的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，3）
故答案為：（$\frac{1}{2}$，3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，直線的斜率以及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．