【題目】設函數.
(1)求函數的單調區(qū)間;
(2)若恒成立,求的值;
(3)當時, 恒成立,求的值.
【答案】(1)的單調遞減區(qū)間,單調遞增區(qū)間是;(2);(3).
【解析】試題分析: 求導,令,求出極值點,得到單調區(qū)間
由得到最小值,代入到,求出結果
令,求導算出最大值,再令,化簡為,結合和單調性求出結果;
解析:(1),令,得,
當, ;當, ,
故函數的單調遞減區(qū)間,單調遞增區(qū)間是.
(2)由(1)知當時取得最小值;
從而等價于;
又 ;即,
等價于;又因為(求導易證取等),
故,故只有,即;
(3)令, ,從而當時, ,
,令,即;原問題轉化為:
當時, 恒成立;
若,由(1)知必有,由(2)知: ,
若,即,則由(1)知在區(qū)間上單調遞增,又,所以,不合題意;
綜上, .
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【題目】已知數列,其前項和為,滿足,,其中,,,.
⑴若,,(),求證:數列是等比數列;
⑵若數列是等比數列,求,的值;
⑶若,且,求證:數列是等差數列.
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【題目】某互聯網公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃,收集了近期前期廣告投入量(單位:萬元)和收益(單位:萬元)的數據。對這些數據作了初步處理,得到了下面的散點圖(共個數據點)及一些統(tǒng)計量的值.為了進一步了解廣告投入量對收益的影響,公司三位員工①②③對歷史數據進行分析,查閱大量資料,分別提出了三個回歸方程模型:
根據, ,參考數據: , .
(1)根據散點圖判斷,哪一位員工提出的模型不適合用來描述與之間的關系?簡要說明理由.
(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,在余下兩個模型中分別建立收益關于投入量的關系,并從數據相關性的角度考慮,在余下兩位員工提出的回歸模型中,哪一個是最優(yōu)模型(即更適宜作為收益
附:對于一組數據, ,…, ,其回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計以及相關系數分別為:
, , ,
其中越接近于,說明變量與的線性相關程度越好.
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【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標準方程:
(1)橢圓的焦點在軸上,焦距為4,且經過點;
(2)雙曲線的焦點在軸上,右焦點為,過作重直于軸的直線交雙曲線于,兩點,且,離心率為.
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【題目】已知橢圓及點,若直線與橢圓交于點,且( 為坐標原點),橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓于不同的兩點,求面積的最大值.
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【題目】據調查:人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加.據測,2015年,2016年,2017年大氣中的CO2濃度分別比2014年增加了1個單位,3個單位,6個單位.若用一個函數模擬每年CO2濃度增加的單位數y與年份增加數x的關系,模擬函數可選用二次函數(其中為常數)或函數 (其中a,b,c為常數),又知2018年大氣中的CO2濃度比2014年增加了16.5個單位,請問用以上哪個函數作模擬函數較好?
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