Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=2，從圓外的一動(dòng)點(diǎn)P向圓做切線PT，T為切點(diǎn)，且|PT|=|PO|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求|PT|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用關(guān)系式|PT|²+r²=|PC|²與|PT|=|PO|列出等式，化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）|PT|取最小值時(shí)，|PC|取最小值，而|PC|的最小值為圓心到軌跡直線的距離，求出直線PC的方程與2x+4y=3聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用關(guān)系式|PT|²+r²=|PC|²與|PT|=|PO|列出等式：

(x-1)2+(y-2)2-2

=

x2+y2

，
化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：2x+4y=3；
（2）|PT|取最小值時(shí)，|PC|取最小值，而|PC|的最小值為圓心到軌跡直線的距離，
即d=

|2+8-3|

4+16

=

7

10

5

，
此時(shí)直線PC的斜率為2，方程為y-2=2（x-1），即2x-y=0，
與2x+4y=3聯(lián)立，可得x=

3

10

，y=

3

5

．
∴P（

3

10

，

3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定|PC|的最小值為圓心到軌跡直線的距離是關(guān)鍵．