Question

已知：的二項展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79．
（1）求展開式的二項式系數(shù)之和與系數(shù)之和；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，由展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，可得關于n的方程C_n+C_n¹+C_n²=79，解可得n的值，由二項式系數(shù)的性質可得其展開式二項式系數(shù)之和，在（+2x）¹²中，令x=1可得其展開式的系數(shù)之和；
（2）根據(jù)題意，假設T_k+1項的系數(shù)最大，T_k+1項的系數(shù)為r_k，則有，代入數(shù)據(jù)，解可得k=10，即展開式中系數(shù)最大的項為T₁₁，計算可得T₁₁的值，即可得答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，的二項展開式的通項為T_r+1=2^r•C_n^r•（）^n-r•x^r，
由其二項展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，則C_n+C_n¹+C_n²=79，
即1+n+=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
則其展開式二項式系數(shù)之和為2¹²=4096，
令x=1，可得（+2）¹²=（）¹²，即其展開式的系數(shù)之和（）¹²，
（2）設T_k+1項的系數(shù)最大．
∵（+2x）¹²=（）¹²（1+4x）¹²，
∴
∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展開式中系數(shù)最大的項為T₁₁．
T₁₁=（）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
故其展開式中系數(shù)最大的項16896x¹⁰．
點評：本題考查二項式定理的應用，涉及二項展開式中二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題，容易出錯．要正確區(qū)分這兩個概念．