Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，

3

2

），其離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過坐標原點O作不與坐標軸重合的直線l交橢圓C于P、Q兩點，過P作x軸的垂線，垂足為D，連接QD并延長交橢圓C于點E，試判斷隨著l的轉(zhuǎn)動，直線PE與l的斜率的乘積是否為定值？說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件推導出

1- b2 a2

=

1

2

，

1

a2

+

9

4b2

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直線QD的方程是y=

k

2

(x-x1)，由

y= k 2 (x-x1) x2 4 + y2 3 =1

，得(3+k2)x2-2k2x1x+k2x12-12=0，由此能推導出直線PE與l的斜率的乘積是定值-

3

2

．

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率e=

1

2

，
∴

1- b2 a2

=

1

2

，3a²=4b²，
∵點（1，

3

2

）在橢圓C上，∴

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設直線l的方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直線QD的斜率是

y1

2x1

=

k

2

，
直線QD的方程是y=

k

2

(x-x1)，
由

y= k 2 (x-x1) x2 4 + y2 3 =1

，得(3+k2)x2-2k2x1x+k2x12-12=0，
則-x1+x2=

2k2x1

3+k2

，
∴kPE•kl=

y2-y1

x2-x1

•k
=

k 2 (x2-x1)-kx1

x2-x1

•k
=

k 2 • 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

•k
=

k 2 • 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

•k=-

3

2

．
∴直線PE與l的斜率的乘積是定值-

3

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查一條定直線與一條動直線的斜率的乘積是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．