(2013•南通三模)已知函數(shù)f(x)=
ax2-2x-1,x≥0
x2+bx+c,x<0
是偶函數(shù),直線y=t與函數(shù)y=f(x)的圖象自左向右依次交于四個不同點A,B,C,D.若AB=BC,則實數(shù)t的值為
-
7
4
-
7
4
分析:由f(x)是偶函數(shù)可得x>0時恒有f(-x)=f(x),根據(jù)該恒等式即可求得a,b,c的值,從而得到f(x),令t=f(x),可解得A,B,C三點的橫坐標,根據(jù)AB=BC可列關(guān)于t的方程,解出即可.
解答:解:因為f(x)是偶函數(shù),所以x>0時恒有f(-x)=f(x),即x2-bx+c=ax2-2x-1,
所以(a-1)x2+(b-2)x-c-1=0,
所以
a-1=0
b-2=0
-c-1=0
,解得a=1,b=2,c=-1,
所以f(x)=
x2-2x-1,x≥0
x2+2x-1,x<0

由t=x2+2x-1,即x2+2x-1-t=0,解得x=-1±
t+2

故xA=-1-
t+2
,xB=-1+
t+2

由t=x2-2x-1,即x2-2x-1-t=0,解得x=1±
t+2
,
故xC=1-
t+2

因為AB=BC,所以xB-xA=xC-xB,即2
t+2
=2-2
t+2
,解得t=-
7
4
,
故答案為:-
7
4
點評:本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想,屬中檔題.
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